Интегрирование по частям — как выбрать подходящую функцию u?

Интегрирование по частям — это один из основных методов интегрирования, который позволяет вычислить определенные или неопределенные интегралы сложных функций. В основе этого метода лежит формула, которая позволяет разложить интеграл от произведения двух функций на два меньших интеграла.

Выбор правильных формул для интегрирования по частям играет важную роль в получении точного результата. Обычно используются функции, которые могут быть интегрированы или дифференцированы легко, такие как полиномы, экспоненты, логарифмы, тригонометрические функции и их комбинации.

Примеры использования интегрирования по частям можно встретить в различных областях математики и физики. Например, он может быть полезен при вычислении площади под кривой, определении моментов инерции, решении уравнений бивыпуклых винтовых пружин и многих других задачах, где встречаются сложные функции.

Определение интегрирования по частям

∫ udv = uv — ∫ vdu

где u(x) и v(x) — это функции, которые можно выбрать таким образом, чтобы получить более простое выражение для интеграла.

Идея метода заключается в том, чтобы выбрать одну функцию в качестве u(x), а другую — в качестве dv, и далее произвести вычисления, пользуясь формулой интегрирования по частям.

Имея функцию, которую нужно проинтегрировать, интегрирование по частям может быть полезным для более удобного и эффективного интегрирования. Он позволяет преобразовать сложные интегралы в более простые, с которыми можно работать.

Формула интегрирования по частям

Формула интегрирования по частям имеет следующий вид:

∫ u(x) * v'(x) dx = u(x) * v(x) — ∫ v(x) * u'(x) dx

где u(x) и v(x) — две дифференцируемые функции, u'(x) и v'(x) — их производные по переменной x.

Используя эту формулу, можно интегрировать различные типы функций, включая полиномы, экспоненты, логарифмы и тригонометрические функции.

Пример использования формулы интегрирования по частям:

  1. Вычисление определенного интеграла:
    ∫_0^1 x * e^x dx
  2. Выберем:

    u(x) = x (тогда u'(x) = 1)

    v'(x) = e^x (тогда v(x) = e^x)

    Подставляя значения в формулу, получаем:

    ∫_0^1 x * e^x dx = x * e^x — ∫_0^1 e^x dx

    = x * e^x — e^x | от 0 до 1

    = e — 1

  3. Вычисление неопределенного интеграла:
    ∫ x^2 * ln(x) dx
  4. Выберем:

    u(x) = ln(x) (тогда u'(x) = 1/x)

    v'(x) = x^2 (тогда v(x) = x^3/3)

    Подставляя значения в формулу, получаем:

    ∫ x^2 * ln(x) dx = ln(x) * x^3/3 — ∫ x^3/3 * 1/x dx

    = ln(x) * x^3/3 — ∫ x^2/3 dx

    = ln(x) * x^3/3 — x^3/9 + C

Формула интегрирования по частям является важным инструментом для решения интегралов, которая может быть применена в различных задачах математики и физики.

Выбор функций для интегрирования по частям

Как выбрать эти функции? Есть несколько универсальных правил, которые помогут в этом вопросе:

  1. Выбирайте для дифференцирования функцию, которая упрощает интеграл. Например, если в произведении функций есть полином, то лучше всего его дифференцировать, так как по производной от полинома легко интегрировать.
  2. Выбирайте для интегрирования функцию, которая имеет простую антидифференциал. Например, если в произведении функций есть экспонента или тригонометрическая функция, то их лучше интегрировать.
  3. Иногда полезно выбрать функции так, чтобы после применения интегрирования по частям одна из них стала проще, чем до этого. Например, если после применения интегрирования по частям произведение функций становится более симметричным или упрощается, это может упростить дальнейшую работу.

Важно отметить, что выбор функций для интегрирования по частям может зависеть от конкретной задачи. Поэтому при выборе функций рекомендуется пробовать разные варианты и оценивать их эффективность.

Примеры использования интегрирования по частям:

  • Вычисление интеграла ∫xln(x)dx. В данном случае следует выбрать функцию для дифференцирования — ln(x) и функцию для интегрирования — x. Таким образом, интеграл можно решить по формуле интегрирования по частям и получить ответ.
  • Вычисление интеграла ∫e^xsin(x)dx. Для данного интеграла выбирается функция для дифференцирования — sin(x) и функция для интегрирования — e^x. Результатом будет интеграл от произведения данных функций, который можно вычислить.

Умение выбирать правильные функции для интегрирования по частям является важным навыком при решении интегральных задач. Следуя указанным правилам и используя примеры, можно успешно применять этот метод для нахождения интегралов.

Полезные комбинации функций для интегрирования по частям

При использовании метода интегрирования по частям, важно выбрать правильные функции для разложения интеграла. Существуют несколько комбинаций функций, которые обычно приводят к упрощению вычислений и получению более простого интеграла. Рассмотрим некоторые из этих полезных комбинаций:

1. Логарифмическая и высокая степень: Если интеграл содержит функцию вида ln(x) и функцию вида x^n, то обычно целесообразно выбрать логарифмическую функцию в качестве первой функции и высокую степень в качестве второй функции.

2. Тригонометрическая и ее производная: Когда интеграл содержит тригонометрическую функцию и ее производную, часто можно разложить интеграл по частям, выбрав тригонометрическую функцию в качестве первой функции и ее производную в качестве второй функции.

3. Экспоненциальная и ее производная: При наличии экспоненциальной функции и ее производной рекомендуется выбрать экспоненциальную функцию в качестве первой функции и ее производную в качестве второй функции.

4. Многочлены разных степеней: Интегралы, содержащие многочлены разных степеней, могут быть преобразованы выбором полинома более высокой степени в качестве первой функции и полинома более низкой степени в качестве второй функции.

5. Иные функции: В некоторых случаях полезно выбрать функции, которые приведут к замене переменной или сокращению сложности интеграла.

Выбор правильных функций для интегрирования по частям может значительно упростить вычисления интеграла и сделать задачу более поддающейся решению. Однако, как и в других методах интегрирования, интегрирование по частям требует навыков и опыта, и может потребовать нескольких итераций для получения окончательного результата.

Пример 1: Интегрирование по частям с логарифмической и показательной функциями

Рассмотрим пример интегрирования по частям с использованием логарифмической и показательной функций:

Интегрируемый интеграл: $$\int xe^x \ln x \, dx$$

Для решения данного интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям:

$$\int u \, dv = uv — \int v \, du$$

Выберем:

Выражениеudv
xe^xudv
\ln xudv

Тогда:

$$u = \ln x$$

$$dv = xe^x \, dx$$

Производная выбранного u:

$$du = \frac{1}{x} \, dx$$

Необходимо найти интеграл:

$$\int xe^x \ln x \, dx$$

$$\int u \, dv = uv — \int v \, du$$

$$= \ln x \cdot \int xe^x \, dx — \int \left( \int xe^x \, dx

ight) \cdot \frac{1}{x} \, dx$$

Интеграл $$\int xe^x \, dx$$ можно найти методом интегрирования по частям заново.

Получаем систему уравнений:

$$\int xe^x \ln x \, dx = \ln x \cdot \int xe^x \, dx — \int \left( \int xe^x \, dx

ight) \cdot \frac{1}{x} \, dx$$

Решая данную систему уравнений, можно найти значение интеграла.

Пример 2: Интегрирование по частям с тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями

∫u dv = uv — ∫v du

где u и v – функции, которые выбираются таким образом, чтобы их произведение можно было интегрировать.

Рассмотрим пример, в котором необходимо найти значение следующего интеграла:

∫sin(x) ln(x) dx

Для решения данной задачи необходимо выбрать функции u и v.

В данном примере выберем следующие функции:

u = ln(x)

dv = sin(x) dx

Теперь необходимо найти производные от выбранных функций:

du = (1/x) dx

v = -cos(x)

Подставим найденные значения в формулу интегрирования по частям:

∫sin(x) ln(x) dx = -ln(x) cos(x) — ∫(-cos(x))*(1/x) dx

Получившееся выражение можно дополнительно упростить и решить. В результате применения метода интегрирования по частям получим окончательный ответ:

∫sin(x) ln(x) dx = -ln(x) cos(x) + ∫cos(x) (1/x) dx

Таким образом, мы решаем интеграл посредством разложения его на несколько частей и последующего интегрирования каждой из них отдельно. Интегрирование по частям очень полезное и универсальное средство для нахождения значений интегралов, в том числе с использованием тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

Пример 3: Интегрирование по частям с экспоненциальной и степенной функциями

Рассмотрим задачу на интегрирование по частям с экспоненциальной и степенной функциями:

Вычислить интеграл ∫x^2e^x dx.

Для решения данной задачи применим формулу интегрирования по частям, которая имеет вид:

∫u dv = uv — ∫v du,

где u и v – функции переменной x.

Выберем u = x^2 и dv = e^x dx.

Тогда du = 2x dx и v = ∫e^x dx = e^x.

Подставляя значения u, dv, du и v в формулу интегрирования по частям, получим:

∫x^2e^x dx = x^2e^x — ∫2xe^x dx.

Здесь у нас получился новый интеграл, состоящий из произведения степенной и экспоненциальной функций. Чтобы его решить, повторим процесс интегрирования по частям.

Выберем u = x и dv = e^x dx.

Тогда du = dx и v = ∫e^x dx = e^x.

Подставляя значения u, dv, du и v в формулу интегрирования по частям, получим:

∫2xe^x dx = 2xe^x — ∫2e^x dx.

Теперь остался последний интеграл, который легко вычислить:

∫2e^x dx = 2e^x.

Таким образом, исходный интеграл ∫x^2e^x dx может быть вычислен следующим образом:

∫x^2e^x dx = x^2e^x — (2xe^x — 2e^x) + C = x^2e^x — 2xe^x + 2e^x + C,

где C – произвольная постоянная.

Окончательный ответ: ∫x^2e^x dx = x^2e^x — 2xe^x + 2e^x + C.

Пример 4: Интегрирование по частям с логарифмической и показательной функциями

Рассмотрим следующий интеграл:

∫ x⋅ln(x)⋅e^x dx.

Для решения этого интеграла применим метод интегрирования по частям.

Возьмем первую функцию u = ln(x) и вторую функцию v’ = x⋅e^x.

Тогда первая производная первой функции равна u’ = 1/x, а интеграл от второй функции равен ∫ x⋅e^x dx = x⋅e^x — ∫ e^x dx = x⋅e^x — e^x.

Применяя формулу интегрирования по частям ∫ u⋅v dx = u⋅v — ∫ u’⋅v dx, получаем:

∫ x⋅ln(x)⋅e^x dx = ln(x)⋅x⋅e^x — ∫ 1/x⋅x⋅e^x dx = ln(x)⋅x⋅e^x — ∫ e^x dx = ln(x)⋅x⋅e^x — e^x + C,

где C — произвольная постоянная.

Таким образом, мы получили окончательный результат интегрирования по частям для данного интеграла.

Этот метод очень полезен для интегрирования сложных функций, которые необходимо разложить на произведение двух функций для удобства интегрирования. Интегрирование по частям может применяться в различных областях математики и физики при решении различных задач.

Пример 5: Интегрирование по частям с тригонометрической и обратной тригонометрической функциями

В этом примере мы рассмотрим интегрирование по частям, примененное к функции, содержащей тригонометрическую и обратную тригонометрическую функции.

Пусть у нас есть интеграл:

∫Ω u(x) v'(x) dx

где u(x) и v(x) — функции, их производные обозначены как u'(x) и v'(x) соответственно. Мы можем использовать интегрирование по частям для вычисления этого интеграла.

В данном примере, пусть:

u(x) = \sin(x)

v'(x) = \arctan(x)

Тогда:

u'(x) = \cos(x)

v(x) = \int\arctan(x)dx

Чтобы вычислить интеграл \int\arctan(x)dx, мы можем воспользоваться интегрированием по частям еще раз. Будем выбирать обратную тригонометрическую функцию u(x) и приравняем производную v'(x) к 1.

Выберем:

u(x) = \arctan(x)

v'(x) = 1

Тогда:

u'(x) = \frac{1}{1+x^2}

v(x) = \int1dx = x

Теперь мы можем использовать формулу интегрирования по частям для вычисления исходного интеграла:

\int\sin(x) \arctan(x)dx = \sin(x) \arctan(x) — \int\cos(x) \frac{1}{1+x^2}dx

Мы получили новый интеграл \int\cos(x) \frac{1}{1+x^2}dx, который мы также можем вычислить с помощью интегрирования по частям или других методов.

Итак, интегрирование по частям позволяет нам разбить сложный интеграл на более простые части и использовать известные формулы для вычисления интегралов. В этом примере мы использовали тригонометрическую функцию и обратную тригонометрическую функцию для иллюстрации этого метода.

Пример 6: Интегрирование по частям с экспоненциальной и степенной функциями

Рассмотрим пример, где нужно найти интеграл от произведения экспоненциальной и степенной функции:

I

=

e

(

x

)

(

a

)

*

x

(

b

)

dx

Для решения данной задачи выберем первую функцию как экспоненциальную функцию и обозначим ее как u, а вторую функцию выберем как степенную функцию и обозначим ее как v. Далее найдем производную от функции u и интеграл от функции v:

u

=

e

(

x

)

v

=

x

(

b

)

du

=

e

(

x

)

dx

dv

=

x

(

b

1

)

dx

Подставим значения функций и их производных в формулу интегрирования по частям:

u

v

dx

=

u

v

v

du

=

e

(

x

)

x

(

b

)

x

(

b

1

)

e

(

x

)

dx

Вычислим интеграл от функции x и приведем полученный результат:

x

(

b

1

)

e

(

x

)

dx

=

x

(

b

1

)

e

(

x

)

1

+

b

1

e

(

x

)

1

+

b

dx

Таким образом, интеграл от произведения экспоненциальной функции e(x) и степенной функции x(b) равен:

=

e

(

x

)

x

(

b

)

+

x

(

b

1

)

e

(

x

)

1

+

b

1

+

e

(

x

)

1

+

b

+

C

Где C — постоянная интегрирования.

Оцените статью